二项式定理
负指数的二项式是分数
其中 n 是一个自然数。
解释
我们写出二项式，看到
负指数的二项式系数的发展是按照帕斯卡尔三角法进行的。一个数字产生于它的右上方和左上方的数字之和。你可以在 −120 = −330 + 210 中看到它。
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ ··· 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ ··· 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ ··· 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
我们可以立即注意到，对于负指数，每一行都有无限多的项。正负系数交替出现，而且变得越来越大。对于负指数，公式为
上面的数字 n 是二项式的指数，下面的数字 k 是结果中的项的流水号。你不能对正指数使用这个公式。我们可以写出
你现在可以亲眼看到
例1
对于 n = 4，公式为
我们只能在 a = 1 的情况下处理这个系列，因为这时它说
如果 b ≤ 1，那么就会出现一个收敛的序列